O determinante de uma Matriz é dado pelo valor numérico resultante da subtração entre o somatório do produto dos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Nas matrizes quadradas de ordem 3x3 esses cálculos podem ser efetuados repetindo-se a 1ª e a 2ª coluna, aplicando em seguida a regra de Sarrus. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:
Observe o cálculo de determinantes nas seguintes matizes quadradas de ordem 2x2 e 3x3:
Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.
Diagonal principal: 2 * 6 = 12
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9
Diagonal secundária: 9 * (–1) = – 9
DetA = 12 – (–9)
DetA = 12 + 9
DetA = 21
DetA = 12 + 9
DetA = 21
Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3.
Regra de Sarrus
Diagonal principal
2 * 6 * 3 = 36
5 * 7 * (–1) = – 35
6 * 1 * 2 = 12
Soma
36 + (–35) + 12
36 – 35 + 12
48 – 35
13
2 * 6 * 3 = 36
5 * 7 * (–1) = – 35
6 * 1 * 2 = 12
Soma
36 + (–35) + 12
36 – 35 + 12
48 – 35
13
Diagonal secundária
6 * 6 * (–1) = –36
2 * 7 * 2 = 28
5 * 1 * 3 = 15
Soma
–36 + 28 + 15
–36 + 43
7
6 * 6 * (–1) = –36
2 * 7 * 2 = 28
5 * 1 * 3 = 15
Soma
–36 + 28 + 15
–36 + 43
7
DetB = 13 – 7
DetB = 6
DetB = 6
Matriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação de determinante. Os determinantes apresentam aplicações na resolução de sistemas lineares e no cálculo da área de um triângulo no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas de seus vértices.
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
Determinante de uma matriz de 1ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:
det M = a11
Determinante de uma matriz de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Veremos como se dá o cálculo do determinante de matrizes quadradas de 1ª, 2ª e 3ª ordem.
Determinante de uma matriz de 1ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja:
det M = a11
Determinante de uma matriz de 2ª ordem.
Dada uma matriz quadrada de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:
Determinante de uma matriz de 3ª ordem.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo:
Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:
O método de Sarrus consiste em:
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna.
2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.
(a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32 )
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária:
(a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:
det A = (a11∙a22∙a33 + a12∙a23∙a31 + a13∙a21∙a32 ) - (a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja:
det A = (a11∙a22∙a33 + a12∙a23∙a31 + a13∙a21∙a32 ) - (a12∙a21∙a33 + a11∙a23∙a32 + a13∙a22∙a31)
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo:
Solução: A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:
Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz
Solução:
Exemplo 3. Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.
Solução:
det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9
Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:
Exemplo 4. Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:
Solução:
Propriedade 2.
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.
Exemplo:
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem iguais, seu determinante será nulo.
Exemplo:
Propriedade 3.
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, então seu determinante será nulo.
Exemplo:
Se duas linhas ou duas colunas de uma matriz forem proporcionais, então seu determinante será nulo.
Exemplo:
Propriedade 4.
Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz forem multiplicados por um número real p qualquer, então seu determinante também será multiplicado por p.
Exemplo:
Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna da matriz forem multiplicados por um número real p qualquer, então seu determinante também será multiplicado por p.
Exemplo:
Propriedade 5.
Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado por pm.
det (p∙A) = pm∙det A
Exemplo:
Se uma matriz A, quadrada de ordem m, for multiplicada por um número real p qualquer, então seu determinante será multiplicado por pm.
det (p∙A) = pm∙det A
Exemplo:
Propriedade 6.
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
det A=det At
Exemplo:
O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta.
det A=det At
Exemplo:
Propriedade 7.
Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante será o oposto da matriz anterior.
Exemplo:
Se trocarmos de posição duas linhas ou duas colunas de uma matriz, seu determinante será o oposto da matriz anterior.
Exemplo:
Propriedade 8.
Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, então o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, então o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal.
Exemplo:
Propriedade 9.
O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes de cada uma delas.
det (A∙B) = det A ∙ det B
Propriedade 10.
Teorema de Jacob: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo:
Se somarmos os elementos da coluna 1 com o dobro dos elementos da coluna 2, o determinante não irá se alterar.
a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 1131
Questão 1
- Unicap - PE
Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
- Questão 2U.F. Ouro Preto – MG
Considere a matriz:
- Questão 3Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.
- Questão 4O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C.
- Questão 5(Unicamp - SP)
Seja a um número real e seja:
a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.
Respostas
- Resposta Questão 1
Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.
- Resposta Questão 2
Ao resolver esta desigualdade obteremos o seguinte conjunto solução:
- Resposta Questão 3
Ou seja, temos dois valores para x que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a 8.
- Resposta Questão 4
Façamos as matrizes B e C.
- Resposta Questão 5
a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:
Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:
3 - x = 0 ou (1 - x) 2 + 4 = 0
Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.
Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1.
b)
Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:
Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.
Teorema de Laplace
Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:
De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:
Precisamos encontrar os valores dos cofatores:
Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:
Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma de suas filas, a utilização do teorema de Laplace se torna interessante, pois não será necessário calcular diversos cofatores.
Vejamos um exemplo deste fato:
Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace:
Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace.
Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22.
Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:
det B = (- 1) . (- 65) = 65
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