Função Modular

 Você já deve perceber que existe uma certa regra para calcularmos: todos os números que são positivos, continuam positivos; e todos da forma negativa, tornam-se positivos. Ou seja:

|x| = x, se x for positivo.
|-x|, se x for negativo ou usando a linguagem matemática: 

|x| = x, se x>0
|x| = -x, se x<0

 Resolva a equação |x² - 6x| = 9.

Para que o módulo dê resultado 9, é porque o valor dentro do módulo é igual a 9 ou -9. Assim, 

x² - 6x = 9 ou x² - 6x = -9

Resolvendo cada uma das equações:

x² - 6x - 9 = 0
x = −(−6)±(−6)2−4(1)(−9)√2(1)
x = 6±36+36√2
x = 6±72√2
x = 6±62√2
x = 3±32√

ou

x² - 6x + 9 = 0
(x-3)² = 0
x = 3

Portanto, nossa resposta é: S = {3±32√, 3}.

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Para esboçar o gráfico da função f(x) = |2x + 6|:

Sabemos que:

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x + 6 > 0
→ |2x + 6| = -(2x + 6), se 2x + 6 < 0

Então: 

→ |2x + 6| = 2x + 6, se 2x > -6
→ |2x + 6| = -2x - 6, se 2x < -6

E por fim,

→ |2x + 6| = 2x + 6, se x > 3 (gráfico I)
→ |2x + 6| = -2x - 6, se x < -3 (gráfico II)

(UFJF) O número de soluções negativas da equação | 5x-6 | = x² é:

a) 0  
b) 1  
c) 2  
d) 3  
e) 4

Solução:

Temos então que 5x-6 = x² ou 5x-6 = -x². Assim, temos que resolver cada uma dessas equações:

5x – 6 = x²
x² - 5x + 6 = 0
S = -5 , P = 6
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 ou x = 3

5x – 6 = -x²
x² + 5x – 6 = 0
S = 5, P = -6
(x+6)(x-1) = 0
x = -6 ou x = 1

Assim, teremos uma solução negativa: -6.
Resposta: letra B.

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(UTP) As raízes reais da equação |xl² + |x| - 6 = 0 são tais que:

a) a soma delas é – 1.
b) o produto delas é – 6.
c) ambas são positivas.
d) o produto delas é – 4.
e) n.d.a.

Aqui, usamos um recurso muito comum na Matemática, chame |x| de y. Então a equação ficará   y² + y – 6 = 0. Resolvendo-a:

y² + y – 6 = 0
S = 1, P = -6
(y+3)(y-2) = 0
y = -3 ou y = 2

Assim, |x| = -3 ou |x| = 2. Como não existe módulo negativo, |x| = 2. Então, x = -2 ou x = 2. Portanto, seu produto (2 multiplicado por -2) é igual a 4.
Resposta: letra D.