função modular

Agora tente resolver as duas questões a seguir:
1 - O número de soluções da equação | | x| - 1| = 1, no universo R é:
a) 0                  b) 1                 c) 2                  d) 3                 e) 4
2 - As raízes da equação | x| ² + | x| - 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis
Resp: 1D 2B

1.1      Exercícios resolvidos

Resolva em R - conjunto dos números reais - as seguintes inequações modulares:

a) |2x + 5| £ 11
SOLUÇÃO:
Vem imediatamente que: -11 £ 2x + 5 £ 11
Somando -5 a todos os membros, fica: -16 £ 2x £ 6
Daí, então, dividindo tudo por 2, concluímos finalmente: -8 £ x £ 3.
Logo, o conjunto solução da inequação dada será o conjunto S dado por:
S = {x Î R; -8 £ x £ 3} , que, representado na forma de um intervalo real, seria indicado por S = [-8, 3].
Graficamente, temos:

Observe que no conjunto R dos números reais, o conjunto solução da inequação dada é um conjunto infinito formado por todos os números reais a partir de - 8 até +3.
Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto solução da mesma inequação no conjunto Z dos números inteiros, o conjunto solução seria FINITO, e igual a:
S = {-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto solução da mesma inequação no conjunto N dos números naturais, o conjunto solução seria FINITO, e igual a:
S = {0, 1, 2, 3}.

É muito importante estar atento ao conjunto universo adotado na questão proposta.

Caso não seja feita nenhuma referencia, deveremos considerar que o conjunto universo adotado é sempre R - conjunto dos números reais.

b) |x - 1| > 5
SOLUÇÃO:
Teremos: x - 1 > 5 OU x - 1 < - 5
Portanto, x > 6 OU x < - 4.
O conjunto solução em R, será então: S = {x Î R; x > 6 ou x < - 4} .
Na forma de intervalo, teremos: S = (-¥ , -4) È (6, ¥ ).
Graficamente, temos:

Observe que, utilizando o conceito de diferença de conjuntos, poderemos exprimir o conjunto solução S também na forma: S = R - [-4, 6], onde R é o conjunto dos números reais.
c) |x + 3| + |2x - 8| ³ 20
SOLUÇÃO:
Como não podemos somar diretamente os módulos, vamos considerar o que segue:
Observe que as expressões entre módulo, se anulam para x = -3 e x = 4

Temos três casos a considerar:
1º caso: x < -3
Neste caso, teremos:
x + 3 < 0 Þ |x + 3| = - (x + 3)
2x - 8 < 0 Þ |2x - 8| = - (2x - 8)
Assim, a inequação dada será equivalente a:
- (x + 3) - (2x - 8) ³ 20 ou, eliminando os parênteses:  - x - 3 - 2x + 8 ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
x < - 3 e - x - 3 - 2x + 8 ³ 20.
Resolvendo este sistema de inequações, vem:
x < - 3 e x £ - 5, que é equivalente a x £ - 5.
Então, a primeira parte da solução do problema é o conjunto
S₁ = {x Î R; x £ - 5} = ( - ¥ , -5].
2º caso: - 3 £ x < 4
Neste caso, teremos:   x + 3 > 0 Þ |x + 3| = x + 3
2x - 8 < 0 Þ |2x - 8| = - (2x - 8)
Assim, a inequação dada será equivalente a:  x + 3 - (2x - 8) ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
- 3 £ x < 4 e x + 3 - (2x - 8) ³ 20
Resolvendo este sistema de inequações, vem: - 3 £ x < 4 e x £ - 9
Percebemos da figura abaixo, que a interseção é vazia, portanto, S₂ = Æ .
3º caso: x ³ 4
Neste caso, teremos:
x + 3 > 0 Þ |x + 3| = x + 3
2x - 8 > 0 Þ |2x - 8| = 2x - 8
Assim, a inequação dada será equivalente a:  x + 3 + 2x - 8 ³ 20
Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaçam à dupla desigualdade:
x ³ 4 e x + 3 + 2x - 8 ³ 20


Resolvendo este sistema de inequações, vem:
x ³ 4 e x ³ 25/3, que é equivalente a x ³ 25/3, conforme podemos observar na figura abaixo.

Portanto, a terceira solução parcial será: S₃ = {x Î R; x ³ 25/3} = [25/3, ¥ )
A solução geral da inequação dada será então:
S = S₁ È S₂ È S₃ = ( - ¥ , -5] È Æ È [25/3, ¥ ) = ( - ¥ , -5] È [25/3, ¥ )
S = ( - ¥ , -5] È [25/3, ¥ ).

d)
SOLUÇÃO:
Observando que x² - 10x + 25 = (x - 5)² e lembrando que Ö a² = |a|, temos que:  |x - 5| £ 1 Û -1 £ x - 5 £ 1 Û -1 + 5 £ x - 5 + 5 £ 1 + 5 Û 4 £ x £ 6.
Logo, o conjunto solução da inequação dada, será o intervalo real:  S = [4, 6].

e) |3x - 9| £ 2x
SOLUÇÃO:
Observe que a expressão entre módulo, se anula para x = 3.
Teremos então dois casos a considerar:
1º caso: x < 3 Þ 3x - 9 < 0 Þ |3x - 9| = -(3x - 9) = - 3x + 9
Portanto, a inequação fica: -3x + 9 £ 2x
Teremos então de resolver a dupla desigualdade:  x < 3 e -3x + 9 £ 2x
Vem, x < 3 e 9 £ 5x Û x < 3 e 9 /5£ x Û 9 /5£ x < 3


Portanto, para o primeiro caso, teremos o conjunto solução parcial
S₁ = [9/5, 3)
2º caso: x ³ 3 Þ 3x - 9 ³ 0 Þ |3x - 9| = 3x - 9
Portanto, a inequação fica: 3x - 9 £ 2x
Teremos então de resolver a dupla desigualdade:  x ³ 3 e 3x - 9 £ 2x
Vem, x ³ 3 e - 9 £ - x Û 3 £ x e 9 ³ x Û 3 £ x e x £ 9 Û 3 £ x £ 9
Portanto, para o segundo caso, teremos o conjunto solução parcial
S₂ = [3, 9]
A solução geral da inequação proposta será então:
S = S₁ È S₂ = [9/5, 3) È [3, 9] = [9/5, 9].
S = [9/5, 9].
Graficamente, teríamos na reta real:


Agora, resolva esta:
|x - 3| + |x| + |x + 3| £ 9
Resposta: S = {x Î R; -3 £ x £ 3} = [-3, 3].