1. Encontre as raízes e informe as multiplicidades:
a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)
a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)
2. Encontre as raízes:
b) x2 + (2 - i) x - 2
c) x2 - (2 + i) x + 2i
d) x3 - 2x2 + x - 2
e) x3 + x2 - x - 2
A diferença entre as capacidades de
armazenamento de um cubo com aresta x e um paralelepípedo retângulo com arestas x,x e 5 em dm3, é
expressa por .
Considerando essa equação,
A) demonstre que 6 é uma de suas raízes;
B) calcule as suas raízes complexas.
A)
Logo, 6 é raiz, já que torna a igualdade
verdadeira.
B) é raiz
e
Questão 2
As equações acima, em que , têm uma
raiz comum.
Determine todas as raízes não comuns.
ou
ou
Questão 3
Considere o polinômio e a função real de variável
real definida por .
Sabe-se que uma das raízes de é 1.
Escreva o domínio de sob a forma de intervalo.
Assim,
e e
Logo,
Questão 4
Na
função quadrática f(x)= ax²+bx+C, x’=-1/2 e x’’=1/3. São suas raízes. Sabendo
que f(1)=6,
f(x)=a.(x-x’).(x-x’’)
determine:
a)
A forma fatorada
b)o valor numérico das constantes
Questão 4
Simplifique
as expressões:
a)
(x+y)2–x2-y2
(x+y)2–x2-y2
= x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy
b)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
(x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
= x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5)
=
x2-5x-14+
x2-2x-15 = 2x2-7x-29
c) (2x-y)2-4x(x-y)
(2x-y)2-4x(x-y)
= (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy =
4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2
Questão
5
Se x - y = 7 e xy = 60, então o valor da expressão x² + y² é:
a) 53
b) 109
c) 169
d) 420
Do problema, temos a seguinte equação x - y = 7, a princípio não
está muito claro o valor de x² + y², mas vamos traçar uma estratégia para
resolução da questão:
Na equação x - y = 7, vamos elevar os dois membros ao quadrado,
ficando assim:
(x - y)² = 7², desenvolvendo temos:
x² - 2xy + y² = 49, veja que já apareceram o x² e y²,
arrumando
x² + y² = 49 + 2xy, mas xy = 60 e daí
x² + y² = 49 + 2.60, resolvendo:
x² + y² = 49 + 120, logo x² + y² = 169.
Utilizamos a estratégia de elevar os dois membros da equação ao
quadrado - podemos fazer isto, desde que façamos em ambos os membros - e logo
apareceu x² + y².
Marque
v ou f
Propriedades importantes dos polinômios
P1 - Toda
equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
Exemplo: a equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
P2 - Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.
Esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação , o que se consegue dividindo P(x) por x - b , aplicando Briot-Ruffini. Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.
P3 - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o
conjugado a - bi também será raiz .Exemplo:
qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são
os números 5, 3 + 2i
e 4 -
3i.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes.
P4 - Se a
equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de
grau de multiplicidade k .
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
Exemplo: a equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4 . Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10 .
Outro exemplo: a equação x3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).
A equação do segundo grau x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
P5 - Se a
soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a
unidade é raiz da equação (1 é raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 -10x3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .
P6 - Toda
equação de termo independente nulo , admite um número de raízes nulas igual ao
menor expoente da variável .
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
Exemplo: a equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas .
A equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!
P7 - Se x1 , x2 , x3 ,
... , xn são raízes da equação aoxn +
a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an=
0 , então ela pode ser escrita na forma fatorada :ao (x - x1) . (x - x2)
. (x - x3) . ... . (x - xn) = 0
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!)
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever: (x+1) . (x-2) . (x-53) = 0 , que desenvolvida fica : x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 . (verifique!)
O resto
da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax+b é igual
a P(-b/a).
Note que –b/a é a raiz do divisor.
Note que –b/a é a raiz do divisor.
Exemplo: Calcule
o resto da divisão de x2+5x-1 por x+1.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0 => x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.
Resolução: Achamos a raiz do divisor:
x+1=0 => x=-1
Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):
P(-1)=(-1)2+5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R(x)
Resposta: R(x) = -5.
17) (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 +
2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se:
a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo;
b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16;
c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84;
d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2;
e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo;
letra e
19)
(UFRJ) Dados
os polinômios: p(x) = 5 - 2x + 3x2 , q(x) =
7 + x + x2 - x3 e r(x) =
1- 3x + x4. O valor de
p(x) + r (x) - q(x) para x = 2 é:
a) 5
b) 19 c) 11
d) 24
e) 14
letra b
Determine o
valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é
raiz do polinômio e p(2) = 25.
2) Esse exercício é bem complicadinho, requer muita atenção. Veja
abaixo:
p(x) =
x³ + ax² + (b – 18)x + 1
Sabendo que 1 é raiz temos:
p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b = 16
Sabendo que 1 é raiz temos:
p(1) = 0
1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
1 + a + b – 18 + 1 = 0
a + b = 16
Fazendo
p(2) = 25
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52 : (2)
2a + b = 26
2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
4a + 2b = 52 : (2)
2a + b = 26
a + b = 16
2a + b = 26
2a + b = 26
a = 16 – b
2 * (16 – b) + b = 26
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6
b = 6
32 – 2b + b = 26
– b = 26 – 32
– b = – 6
b = 6
a = 16
– b
a = 16 – 6
a = 10
a = 16 – 6
a = 10
Os
valores de a e b são respectivamente 10 e 6.
Os
polinômios
P(x) = 2(x + 1)(x – 2)(x – 1/2)
Q(x) = (x + 1)(x – 2)(2x – 1)
Q(x) = (x + 1)(x – 2)(2x – 1)
podemos
afirmar que:
(A) têm os mesmos zeros
(B) têm três zeros distintos
(C) não tem zeros
(D) têm um único zero
(E) têm exatamente dois zeros
(A) têm os mesmos zeros
(B) têm três zeros distintos
(C) não tem zeros
(D) têm um único zero
(E) têm exatamente dois zeros
letra
a
Os
polinômios
P(x) = x3 +
5x2 – 2x – 24
Q(x) = x3 – 3x2 – 10x + 24
Q(x) = x3 – 3x2 – 10x + 24
são
divisíveis por:
(A) 5x2 – 2x – 24
(B) x2 – x – 6
(C) x2 + x – 6
(D) x
(E) x - 3
(A) 5x2 – 2x – 24
(B) x2 – x – 6
(C) x2 + x – 6
(D) x
(E) x - 3
letra
c
O
polinômio
P(x) = x3 +
5x2 – 2x – 24
é
divisível por:
(A) 5x2 – 2x – 24
(B) x2 – x – 6
(C) x2 + x – 6
(D) x
(E) x - 3
(A) 5x2 – 2x – 24
(B) x2 – x – 6
(C) x2 + x – 6
(D) x
(E) x - 3
letra
c
Sabe-se que o polinômio p(x) = ax3+ x2 + bx + 1, em que a e b são números
reais não nulos, é divisível por x–1 e, além disso, que o resto da divisão de
p(x) por x–b é igual a 1.
Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar que
A) pelo menos um deles é um número inteiro.
B) o produto a.b é um número irracional.
C) a diferença a–b é um número irracional.
D) não existem números nas condições apresentadas.
Desse modo, a respeito de a e b, pode-se afirmar que
A) pelo menos um deles é um número inteiro.
B) o produto a.b é um número irracional.
C) a diferença a–b é um número irracional.
D) não existem números nas condições apresentadas.
Letra c
Um polinômio P(x) é divisível pelos polinômios (x2 – 5x + 6) e (x2 – 7x +12). Sobre esse polinômio são
feitas três afirmações.
I. O grau de P(x) é igual a 4.
II. O grau de P(x) pode ser igual a 3.
III. O resto da divisão de P(x) por (x2 – 6x + 8) é igual a 0.
É(São) verdadeira(s), necessariamente, apenas a(s) afirmação(ões)
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
I. O grau de P(x) é igual a 4.
II. O grau de P(x) pode ser igual a 3.
III. O resto da divisão de P(x) por (x2 – 6x + 8) é igual a 0.
É(São) verdadeira(s), necessariamente, apenas a(s) afirmação(ões)
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e III.
e) II e III.
Letra e
(ENEM
2012 .Adaptada)
Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação
de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A
figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do
encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que
representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira
lavagem, será expressa por:
a) 2xy
b) 15 – 3x
c) 15 – 5y
d) – 5y – 3x
e) 5y + 3x – xy
I.A representação de pontos neste plano é feita
através de pares ordenados, onde o primeiro número se refere àabscissa e o segundo a ordenada.
II. O ponto P1(3, 2) tem
abscissa 3 e ordenada 2, no qual o símbolo (3, 2) representa um par ordenado. O pontoP2(2, 3) tem
abscissa 2 e ordenada 3. É importante frisarmos
que os pontos P1 e P2 são
pontos distintos, pois em um par
ordenado a ordem dos números é relevante.
III. Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e somente
se a = c e b = d.
É correto afirmar que
a) apenas II é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) apenas I e II são verdadeiras.
d) apenas I e III são verdadeiras.
e) I,
II e III são verdadeiras.
7.Temos que a
raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.
O valor de m que satisfaz as
condições informadas é 7.
p(x) = x² – mx + 6
p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42 *(–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7
p(6) = 0
6² – m * 6 + 6 = 0
36 – 6m + 6 = 0
– 6m = – 42 *(–1)
6m = 42
m = 42/6
m = 7
O valor de m que satisfaz as
condições informadas é 7.
(FEI – SP)
(FEI – SP)
Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e
q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0,
p(1) = 0 e q(1) = 2.
p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c
= 0 → c = 0
p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0
= 0 → a + b = 0
q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 =
2 → a – b = 2
Temos que a = 1, b = – 1 e c =
0
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