propriedades fundamentais para um número quadrado perfeito.
Olhando para os exemplos podemos induzir algumas previsões, que requerem prova rigorosa.
- "Todo quadrado perfeito par, tem raiz par"
- 4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
- PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por . Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja um quadrado perefeito requer k=2y^2, ou seja, , portanto um número par.
- "Todo quadrado perfeito impar, tem raiz impar"
- 1, 9, 25, etc. são impares e possuem raiz impar (1, 3, 5, ...).
- PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contrariamente à hipótese, seria par.
As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos numeros não são quadrados perfeitos. [1]
- "Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito"
- basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
- PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois numeros iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multipicada por si mesma. Ora o produto de dois numeros iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os numeros terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o producto de dois numeros iguais.
- "Todo numero par que não fôr divisivel por 4, não é quadrado perfeito"
- 2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
- PROVA: Todo o numero par é divisivel por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisivel por 2, e por 2x2=4.
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